一、標(biāo)準(zhǔn)化/歸一化定義

歸一化和標(biāo)準(zhǔn)化經(jīng)常被搞混，程度還比較嚴(yán)重，非常干擾大家的理解。為了方便后續(xù)的討論，必須先明確二者的定義。

歸一化

就是將訓(xùn)練集中某一列數(shù)值特征(假設(shè)是第i列)的值縮放到0和1之間。方法如下所示：

 

 

標(biāo)準(zhǔn)化

就是將訓(xùn)練集中某一列數(shù)值特征(假設(shè)是第i列)的值縮放成均值為0，方差為1的狀態(tài)。如下所示：

 

 

進(jìn)一步明確二者含義

歸一化和標(biāo)準(zhǔn)化的相同點(diǎn)都是對(duì)某個(gè)特征(column)進(jìn)行縮放(scaling)而不是對(duì)某個(gè)樣本的特征向量(row)進(jìn)行縮放。對(duì)特征向量進(jìn)行縮放是毫無(wú)意義的(暗坑1) 比如三列特征：身高、體重、血壓。每一條樣本(row)就是三個(gè)這樣的值，對(duì)這個(gè)row無(wú)論是進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化還是歸一化都是好笑的，因?yàn)槟悴荒軐⑸砀�、體重和血壓混到一起去!

在線(xiàn)性代數(shù)中，將一個(gè)向量除以向量的長(zhǎng)度，也被稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化，不過(guò)這里的標(biāo)準(zhǔn)化是將向量變?yōu)殚L(zhǎng)度為1的單位向量，它和我們這里的標(biāo)準(zhǔn)化不是一回事兒，不要搞混哦(暗坑2)。

二、標(biāo)準(zhǔn)化/歸一化的好處

2.1 提升模型精度

在機(jī)器學(xué)習(xí)算法的目標(biāo)函數(shù)(例如SVM的RBF內(nèi)核或線(xiàn)性模型的l1和l2正則化)，許多學(xué)習(xí)算法中目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)都是假設(shè)所有的特征都是零均值并且具有同一階數(shù)上的方差。如果某個(gè)特征的方差比其他特征大幾個(gè)數(shù)量級(jí)，那么它就會(huì)在學(xué)習(xí)算法中占據(jù)主導(dǎo)位置，導(dǎo)致學(xué)習(xí)器并不能像我們說(shuō)期望的那樣，從其他特征中學(xué)習(xí)。

舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，在KNN中，我們需要計(jì)算待分類(lèi)點(diǎn)與所有實(shí)例點(diǎn)的距離。假設(shè)每個(gè)實(shí)例點(diǎn)(instance)由n個(gè)features構(gòu)成。如果我們選用的距離度量為歐式距離，如果數(shù)據(jù)預(yù)先沒(méi)有經(jīng)過(guò)歸一化，那么那些絕對(duì)值大的features在歐式距離計(jì)算的時(shí)候起了決定性作用。

從經(jīng)驗(yàn)上說(shuō)，歸一化是讓不同維度之間的特征在數(shù)值上有一定比較性，可以大大提高分類(lèi)器的準(zhǔn)確性。

2.2 提升收斂速度

對(duì)于線(xiàn)性model來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)歸一化后，最優(yōu)解的尋優(yōu)過(guò)程明顯會(huì)變得平緩，更容易正確的收斂到最優(yōu)解。

 

 

比較這兩個(gè)圖，前者是沒(méi)有經(jīng)過(guò)歸一化的，在梯度下降的過(guò)程中，走的路徑更加的曲折，而第二個(gè)圖明顯路徑更加平緩，收斂速度更快。 對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，避免飽和是一個(gè)需要考慮的因素，通常參數(shù)的選擇決定于input數(shù)據(jù)的大小范圍。

三、標(biāo)準(zhǔn)化/歸一化的對(duì)比分析

首先明確，在機(jī)器學(xué)習(xí)中，標(biāo)準(zhǔn)化是更常用的手段，歸一化的應(yīng)用場(chǎng)景是有限的。我總結(jié)原因有兩點(diǎn)：

1、標(biāo)準(zhǔn)化更好保持了樣本間距。當(dāng)樣本中有異常點(diǎn)時(shí)，歸一化有可能將正常的樣本“擠”到一起去。比如三個(gè)樣本，某個(gè)特征的值為1,2,10000，假設(shè)10000這個(gè)值是異常值，用歸一化的方法后，正常的1,2就會(huì)被“擠”到一起去。如果不幸的是1和2的分類(lèi)標(biāo)簽還是相反的，那么，當(dāng)我們用梯度下降來(lái)做分類(lèi)模型訓(xùn)練時(shí)，模型會(huì)需要更長(zhǎng)的時(shí)間收斂，因?yàn)閷�樣本分開(kāi)需要更大的努力!而標(biāo)準(zhǔn)化在這方面就做得很好，至少它不會(huì)將樣本“擠到一起”。

2、標(biāo)準(zhǔn)化更符合統(tǒng)計(jì)學(xué)假設(shè)

對(duì)一個(gè)數(shù)值特征來(lái)說(shuō)，很大可能它是服從正態(tài)分布的。標(biāo)準(zhǔn)化其實(shí)是基于這個(gè)隱含假設(shè)，只不過(guò)是略施小技，將這個(gè)正態(tài)分布調(diào)整為均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布而已。

所以，下面的討論我們先集中分析標(biāo)準(zhǔn)化在機(jī)器學(xué)習(xí)中運(yùn)用的情況，在文章末尾，簡(jiǎn)單探討一下歸一化的使用場(chǎng)景。這樣更能凸顯重點(diǎn)，又能保持內(nèi)容的完整性，暫時(shí)忘記歸一化，讓我們focus到標(biāo)準(zhǔn)化上吧。

四、邏輯回歸必須要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化嗎?

我覺(jué)得，回答完上面的問(wèn)題，就可以很好地掌握標(biāo)準(zhǔn)化在機(jī)器學(xué)習(xí)中的運(yùn)用。

首先，請(qǐng)嘗試自己來(lái)回答一下(暫停5秒)

無(wú)論你回答必須或者不必須，你都是錯(cuò)的!

真正的答案是，這取決于我們的邏輯回歸是不是用正則。

如果你不用正則，那么，標(biāo)準(zhǔn)化并不是必須的，如果你用正則，那么標(biāo)準(zhǔn)化是必須的。(暗坑3)

為什么呢?

因?yàn)椴挥谜齽t時(shí)，我們的損失函數(shù)只是僅僅在度量預(yù)測(cè)與真實(shí)的差距，加上正則后，我們的損失函數(shù)除了要度量上面的差距外，還要度量參數(shù)值是否足夠小。而參數(shù)值的大小程度或者說(shuō)大小的級(jí)別是與特征的數(shù)值范圍相關(guān)的。舉例來(lái)說(shuō)，我們用體重預(yù)測(cè)身高，體重用kg衡量時(shí)，訓(xùn)練出的模型是： 身高 = 體重*x x就是我們訓(xùn)練出來(lái)的參數(shù)。

當(dāng)我們的體重用噸來(lái)衡量時(shí)，x的值就會(huì)擴(kuò)大為原來(lái)的1000倍。

在上面兩種情況下，都用L1正則的話(huà)，顯然對(duì)模型的訓(xùn)練影響是不同的。

假如不同的特征的數(shù)值范圍不一樣，有的是0到0.1，有的是100到10000，那么，每個(gè)特征對(duì)應(yīng)的參數(shù)大小級(jí)別也會(huì)不一樣，在L1正則時(shí)，我們是簡(jiǎn)單將參數(shù)的絕對(duì)值相加，因?yàn)樗鼈兊拇笮〖?jí)別不一樣，就會(huì)導(dǎo)致L1最后只會(huì)對(duì)那些級(jí)別比較大的參數(shù)有作用，那些小的參數(shù)都被忽略了。

如果你回答到這里，面試官應(yīng)該基本滿(mǎn)意了，但是他可能會(huì)進(jìn)一步考察你，如果不用正則，那么標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)邏輯回歸有什么好處嗎?

答案是有好處，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，我們得出的參數(shù)值的大小可以反應(yīng)出不同特征對(duì)樣本label的貢獻(xiàn)度，方便我們進(jìn)行特征篩選。如果不做標(biāo)準(zhǔn)化，是不能這樣來(lái)篩選特征的。

答到這里，有些厲害的面試官可能會(huì)繼續(xù)問(wèn)，做標(biāo)準(zhǔn)化有什么注意事項(xiàng)嗎?

最大的注意事項(xiàng)就是先拆分出test集，不要在整個(gè)數(shù)據(jù)集上做標(biāo)準(zhǔn)化，因?yàn)槟菢訒?huì)將test集的信息引入到訓(xùn)練集中，這是一個(gè)非常容易犯的錯(cuò)誤!

五、通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明

我們先從簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)的線(xiàn)性回歸模型開(kāi)始：

有一組關(guān)于房?jī)r(jià)和房子變量的數(shù)據(jù)集，通過(guò)房子的面積，房間數(shù)量，房子的層數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)。

占地面積1800尺，房間數(shù)量3間，房子層數(shù)2層-> 房?jī)r(jià)?;

為了方便對(duì)比，我們分別看一下標(biāo)準(zhǔn)化前和標(biāo)準(zhǔn)化后的模型輸出分布是怎么樣的。

 

 

可以看出，標(biāo)準(zhǔn)化前后變量的系數(shù)不同，誤差不同，但是R平方，和變量的t值是相同的。

5.1 解釋有區(qū)別嗎?

那標(biāo)準(zhǔn)化前后得到的公式，怎么來(lái)解釋呢?

 

 

當(dāng)一個(gè)外行人在聽(tīng)解釋的時(shí)候，一定會(huì)問(wèn)，什么呀?所有東西都是0，空氣造的房子還能賣(mài)9萬(wàn)?!

接著你會(huì)問(wèn)，系數(shù)不同，那預(yù)測(cè)出來(lái)的房?jī)r(jià)會(huì)相同嗎?

5.2 預(yù)測(cè)值有區(qū)別嗎?

現(xiàn)在我們來(lái)預(yù)測(cè)一個(gè)1590尺，3個(gè)臥室，3層的房屋

 

 

我們發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)出來(lái)的房?jī)r(jià)是一樣的。

這時(shí)你一定會(huì)想，既然結(jié)果都一樣，做不做標(biāo)準(zhǔn)化，都一樣嘛。說(shuō)到這里，我們?cè)倏匆幌�，建模時(shí)尋找最優(yōu)解的時(shí)間吧。

5.3 花費(fèi)時(shí)間有區(qū)別嗎?

 

 

 

 

 

 

為什么標(biāo)準(zhǔn)化后的建模時(shí)間會(huì)短呢?這時(shí)候就要說(shuō)起尋找系數(shù)最優(yōu)解-梯度下降法。

標(biāo)準(zhǔn)化前，由于變量的單位相差很大，導(dǎo)致了橢圓型的梯度輪廓。標(biāo)準(zhǔn)化后，把變量變成統(tǒng)一單位，產(chǎn)生了圓形輪廓。由于梯度下降是按切線(xiàn)方向下降，所以導(dǎo)致了系統(tǒng)在橢圓輪廓不停迂回地尋找最優(yōu)解，而圓形輪廓就能輕松找到了。

還有一種比較極端的情況，有時(shí)沒(méi)做標(biāo)準(zhǔn)化，模型始終找不到最優(yōu)解，一直不收斂。

5.4 PCA，Kmeans，KNN需要標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)嗎?

這種情況下，可見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)化的重要性了吧。

我們?cè)賮?lái)看一下，如果將預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)的變量，用PCA方法來(lái)降維，會(huì)不會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響。

我們看出在標(biāo)準(zhǔn)化前，用一個(gè)成分就能解釋99%的變量變化，而標(biāo)準(zhǔn)化后一個(gè)成分解釋了75%的變化。 主要原因就是在沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)化的情況下，我們給了居住面積過(guò)大權(quán)重，造成了這個(gè)結(jié)果。

 

 

 

 

那還有什么情況下，不做歸一化會(huì)發(fā)生這么大的影響?

Kmeans，KNN一些涉及到距離有關(guān)的算法，或者聚類(lèi)的話(huà)，都是需要先做變量標(biāo)準(zhǔn)化的。

舉個(gè)例子，我們將3個(gè)城市分成兩類(lèi)，變量有面積和教育程度占比;三個(gè)城市分別是這樣的：

城市A，面積挺大，但是整天發(fā)生偷盜搶劫，教育程度低;
城市B，面積也挺大，治安不錯(cuò)，教育程度高;
城市C，面積中等，治安也挺好，教育程度也挺高;

 

 

 

 

我們?nèi)绻�不做�?biāo)準(zhǔn)化，直接做聚類(lèi)模型的話(huà)，A城市和B城市分在一塊兒了，你想想，一個(gè)治安挺好的城市和一個(gè)整體偷盜搶劫城市分在一起，實(shí)在是有點(diǎn)違反常理。

六、總結(jié)

Tree-based models doesn’t depend on scaling

Non-tree-based models hugely depend on scaling

有時(shí)候，我們必須要特征在0到1之間，此時(shí)就只能用歸一化。有種svm可用來(lái)做單分類(lèi)，里面就需要用到歸一化，由于沒(méi)有深入研究，所以我把鏈接放上，感興趣的可以自己看。

當(dāng)然，也不是所有的模型都需要做歸一的，比如模型算法里面有沒(méi)關(guān)于對(duì)距離的衡量，沒(méi)有關(guān)于對(duì)變量間標(biāo)準(zhǔn)差的衡量。比如decision tree 決策樹(shù)，他采用算法里面沒(méi)有涉及到任何和距離等有關(guān)的，所以在做決策樹(shù)模型時(shí)，通常是不需要將變量做標(biāo)準(zhǔn)化的。

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